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Teorema de los senos

Teorema del seno.

En trigonometría, el teorema de los senos¹ o también conocido como ley de los senos ² es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de untriángulo y los senos de sus respectivos ángulos opuestos.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Teorema de los senos

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:

$\frac{a}{\sin\,A} =\frac{b}{\sin\,B} =\frac{c}{\sin\,C}$

Índice

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1Demostración

2Aplicación

3Relación con el área del triángulo

4Referencias

5Véase también

Demostración[editar]

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida.

El teorema de los senos establece quea/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PCB es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son congruentes, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

$\sin\,A=\sin\,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

$\frac{a}{\sin\,A} = 2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferenciacircunscrita, entonces:

$\frac{a}{\sin\,A} =\frac{b}{\sin\,B} =\frac{c}{\sin\,C}=2R.$

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

Aplicación

El teorema de los senos es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Puede ser empleado la ley de los senos, con reajustes circunstanciales, en:

cálculo de la altura de un árbol

hallar el ángulo de elevación del suelo

plano para construcción de puentes

estudio y dibujo de carriles de una autopista

itinerario de un planeo

ubicación de un foco de incendio

situación de un transmisor de radio clandestino

la altitud de una montaña y otros casos. ³

Relación con el área del triángulo

Dos fórmulas para calcular el área de un triángulo

Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo que se cumple:

$Area = \frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\sin\,C}{2}$ .

Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teo

El teorema del coseno, denominado también como ley de cosenos ¹ , es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC cualquiera, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\,$

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.²

Fig. 1 - Notación más habitual de un triángulo.

Índice

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1Historia

2El teorema y sus aplicaciones

3Demostraciones

3.1Por desglose de áreas

3.2Por el teorema de Pitágoras

3.3Por la potencia de un punto con respecto a un círculo

3.4Por el cálculo vectorial

3.5Demostración geométrica

4Generalización en geometrías no euclídeas

4.1Geometría esférica

4.2Geometría hiperbólica

5Generalización en el espacio euclídeo

6Apéndice

6.1Área de un paralelogramo

6.2Cuerdas en un círculo

7Véase también

8Referencias

9Bibliografía

Historia[editar]

Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.³ Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:

«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso».

Euclides, Elementos.⁴

Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:

Fig. 2 - Triángulo ABC con alturaBH.

$AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2\ CA\ CH$

Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani⁵generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.⁶ ⁷ Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,⁸ matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.⁹

Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libroIntroductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.¹⁰

El teorema y sus aplicaciones[editar]

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo $\gamma \,$ es recto o, dicho de otro modo, cuando $\cos\gamma = 0 \,$ , el teorema del coseno se reduce a:

$\,c^2=a^2+b^2$

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.

El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar:

el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:

$c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$ .

los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:

$\gamma = \arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ .

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.

Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'

$\,cc' = aa' + bb' - (ab'+a' b)\cos\gamma$ .

Identidades trigonométricas

Todas las funciones en O.

Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sen²α como (sen α)². Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

Relación pitagórica $\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,$

Identidad de la razón $\tan \theta = \frac{\sen \theta}{\cos \theta}$

De estas dos identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si $\scriptstyle\sen \theta \,=\, 1/2$ la conversión propuesta en la tabla indica que $\scriptstyle\cos\theta\,=\,\sqrt{1 - \sen^2\theta} = \sqrt{3}/2$ , aunque es posible que $\scriptstyle\cos\theta \,=\, -\sqrt{3}/2$ . Para obtener el signo correcto se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.¹

En términos de $\sen\!$ $\cos\!$ $\tan\!$ $\cot\!$ $\sec\!$ $\csc\!$

$\sen \theta$ $\sen \theta\$ $\sqrt{1 - \cos^2\theta}$ $\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$ $\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$ $\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$ $\frac{1}{\csc \theta}$

$\cos \theta$ $\sqrt{1 - \sen^2\theta}$ $\cos \theta\$ $\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ $\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$ $\frac{1}{\sec \theta}$ $\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$

$\tan \theta$ $\frac{\sen\theta}{\sqrt{1 - \sen^2\theta}}$ $\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$ $\tan \theta\$ $\frac{1}{\cot \theta}$ $\sqrt{\sec^2\theta - 1}$ $\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$

$\cot \theta$ ${\sqrt{1 - \sen^2\theta} \over \sen \theta}$ ${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$ $\frac{1}{\tan \theta}$ $\cot\theta\$ ${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$ $\sqrt{\csc^2\theta - 1}$

$\sec \theta$ ${1 \over \sqrt{1 - \sen^2\theta}}$ ${1 \over \cos \theta}$ $\sqrt{1 + \tan^2\theta}$ ${\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta}$ $\sec\theta\$ ${\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}$

$\csc \theta$ ${1 \over \sen \theta}$ ${1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$ ${\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}$ $\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$ ${\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$ $\csc \theta\$

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\tan{x} = \frac {\sen{x}} {\cos{x}} \qquad \cot{x} = \frac{1} {\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\sen{x}}$

$\sec{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \csc{x}= \frac{1}{\sen{x}}$

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

$\sen(x) = \sen(x + 2\pi) \qquad \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi)$

$\sen(-x) = \sen(x+\pi) \qquad \cos(-x) = -\cos(x+ \pi)$

$\tan(-x) = -\tan(x) \qquad \cot(-x) = -\cot(x)$

$\sen(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \qquad \tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

$a\sen(x)+b\cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sen\left( x+\arctan{\frac{b}{a}} \right)$

$\sen^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=1$

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

$\tan^2\left(x\right)+1 = \sec^2\left(x\right)$

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

$\cot^2\left(x\right) + 1 = \csc^2\left(x\right)$

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

$\sen(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \qquad \sen(x) = \frac {\tan{x}} {\sqrt{1+\tan^2(x)}}$

$\sen(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\cot^2(x)}} \qquad \sen(x) = \frac{1} {\sec{x}} \sqrt{\sec^2(x)-1}$

Ejemplo 2:

[Expandir]
$\frac{\sec^2 t -1}{\sec^2 t}= \sen^2 t$

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos[editar]

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

[Expandir] $\sen(x \pm y) = \sen(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sen(y)$
$\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sen(x) \sen(y)$

$\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)}$

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

$\sen(\pi \pm x) = \mp\sen(x)$

$\cos(\pi \pm x) = -\cos(x)$

$\tan(\pi \pm x) = \pm\tan(x)$

$\csc(\pi \pm x) = \mp\csc(x)$

Para ángulos complementarios:

$\sen\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)$

$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sen(x)$

$\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot(x)$

$\csc\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sec(x)$

$\sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \csc(x)$

$\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)$

Para ángulos opuestos:

$\sen\left(-x\right) = -\sen\left(x\right)$

$\cos\left(-x\right) = \cos\left(x\right)$

$\tan\left(-x\right) = -\tan\left(x\right)$

$\csc\left(-x\right) = -\csc\left(x\right)$

$\sec\left(-x\right) = \sec\left(x\right)$

$\cot\left(-x\right) = -\cot\left(x\right)$

Identidades del ángulo múltiple[editar]

Si T_n es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

$\cos(nx)=T_n(\cos(x)).$

Fórmula de De Moivre:

$\cos(nx)+i\sen(nx)=(\cos(x)+i\sen(x))^n$

Identidades del ángulo doble, triple y medio[editar]

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea $\sen(x+x)=\sen(2x)$ ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando $n = 2$ .

Fórmula del ángulo doble

$\begin{align} \sen 2\theta &= 2 \sen \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$ $\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sen^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \sen^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$ $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\,$ $\cot 2\theta = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}\,$

Fórmula del ángulo triple

$\sen 3\theta = 3 \sen \theta- 4 \sen^3\theta \,$ $\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \,$ $\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}$

Fórmula del ángulo medio

$\sen \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ $\cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ $\begin{align} \tan \tfrac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sen \theta}{1 + \cos \theta} \end{align}$ $\cot \tfrac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta$

Producto infinito de Euler[editar]

$\cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right) = {\sen(\theta)\over \theta}.$

Identidades para la reducción de exponentes[editar]

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sen²(x).

Seno $\sen^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ $\sen^3\theta = \frac{3 \sen\theta - \sen 3\theta}{4}$ $\sen^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$

Coseno $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ $\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}$ $\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$ $\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}$

Otros $\sen^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$ $\sen^3\theta \cos^3\theta = \frac{\sen^3 2\theta}{8}$

Paso de producto a suma[editar]

Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

[Expandir] $\sen x \sen y= {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}$
$\cos x \cos y= {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

$\sen x \cos y= {\sen(x + y) + \sen(x - y) \over 2}$

$\cos x \sen y= {\sen(x + y) - \sen(x - y) \over 2}$

Paso de suma a producto[editar]

[Expandir] $\sen a+ \sen b= \;\;\;2 \sen\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$
$\sen a- \sen b= \;\;\;2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \sen\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos a+ \cos b= \;\;\;2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos a- \cos b= -2 \sen\left( \frac{a + b}{2} \right) \sen\left( \frac{a - b}{2} \right)$

Paso de diferencia de cuadrados a producto[editar]

$1) \sen^2 x-\sen^2 y= \sen(x+y)\sen(x-y)\,$
$2) \cos^2 x-\sen^2 y= \cos(x+y)\cos(x-y)\,$

Deducción

1) recordando: que cateto opuesto sobre cateto adyacente

$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sen x\sen y\,$
$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sen x\sen y\,$

multiplicando

$\cos(x+y)\cos(x-y)= \cos^2 x\cos^2 y-\sen^2 x\sen^2 y \,$

De tal manera que obtendremos:

$\sen^2 x=1-\cos^2 x\,$
$\cos^2 y=1-\sen^2 y\,$

aplicando esto en la ecuación inicial

$\cos(x+y)\cos(x-y)= \cos^2 x(1-\sen^2 y)-(1-\cos^2 x)\sen^2 y\,$

multiplicando

$1)\cos^2 x-\sen^2 y=\cos(x+y)\cos(x-y)\,$

De una manera análoga se halla el primer teorema.

Eliminar seno y coseno[editar]

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

$|\sen{(x)}| = \frac{|\tan{(x)}|}{ \sqrt{1 + \tan^2{(x)}} }$
$\sen{\left( x \right)} = {2} \sen{\left( \frac{x}{2} \right)} \cos{\left( \frac{x}{2} \right)} = \frac{ 2 \tan{ \left( \frac{1}{2} x \right)}} { 1 + \tan^2{ \left( \frac{1}{2} x \right)}}$
$\cos{\left( x \right)} = 2\cos^2{\left( \frac{x}{2} \right)} -1= \frac{1 - \tan^2{\left( \frac{1}{2} x \right)}}{1 + \tan^2{\left( \frac{1}{2}x\right)}}$
$|\cos{\left( x \right)}| = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2{ \left( x \right)}} }$

Funciones trigonométricas inversas[editar]

$\arctan(x)+\arccot(x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{si }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right..$
$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

Composición de funciones trigonométricas[editar]

$\sen(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$\sen(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$

$\tan(\operatorname{arcsen} (x))=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\cos(\operatorname{arcsen}(x))=\sqrt{1-x^2} \,$

$\tan(\arccos (x))=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$

para $n\in \mathbb{N}:$

$\cos(n\arccos(x))=\frac{2^n x^n}{2}+\sum_{k=1} (-1)^k\frac{n}{k}\left( \begin{matrix} n-1-k\\ k-1 \end{matrix} \right)(2x)^{n-2k}$

$\sen(n \operatorname{arcsen}(x))= x\left[\sum_{k=0} (-1)^k \left( \begin{matrix} n-1-k\\ k \end{matrix} \right)(2x)^{n-2k-1}\right]$

Fórmula de productos infinitos[editar]

Seno Coseno

$\sen x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$
$\operatorname{senh} x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$
$\frac{\sen x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$

$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$
$\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

Fórmula de Euler[editar]

$e^{+\mathrm{i}x} = \cos{\left( x \right)} + \mathrm{i}\sen{\left( x \right)}$
$e^{-\mathrm{i}x} = \cos{\left( x \right)} - \mathrm{i}\sen{\left( x \right)}$

Teorema del Coseno[editar]

Artículo principal: Teorema del coseno

Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\,$

Teorema del seno[editar]

Artículo principal: Teorema del seno

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

$\frac{a}{\sen(A)}= \frac{b}{\sen(B)} = \frac{c}{\sen(C)}$

Aplicación

El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.

Definiciones exponenciales

La mayor parte de funciones trigonométricas admiten una formulación en términos de números complejos, algunos ejemplos:

Función Función inversa

$\sen \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,$ $\operatorname{arcsen} x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,$

$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,$ $\arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,$

$\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,$ $\arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,$

$\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$ $\arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,$

$\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \,$ $\arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,$

$\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$ $\arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i - x}{i + x}\right) \,$

$\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \,$ $\operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} \,$

21 comentarios:

Carlos19 de enero de 2016 a las 5:35 p.m.
Ya
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Unknown19 de enero de 2016 a las 5:43 p.m.
profesol ta dificil
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Unknown19 de enero de 2016 a las 6:19 p.m.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
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Unknown19 de enero de 2016 a las 6:32 p.m.
klk profesor #29
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Yerika Rodriguez #3219 de enero de 2016 a las 7:55 p.m.
Hola profesor usted dijo que la formula no varia pero usted puso el 2 ¿el número para restar puede variar?
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Unknown20 de enero de 2016 a las 5:28 a.m.
hola proff
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Unknown20 de enero de 2016 a las 5:29 a.m.
hola prof k tal hay pocos estudientes
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Federico ruiz20 de enero de 2016 a las 7:49 a.m.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
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Federico ruiz20 de enero de 2016 a las 7:52 a.m.
Klk profesor esto esta muy difícil
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Carlos20 de enero de 2016 a las 2:41 p.m.
Estoy de acuerdo con mis compañero,Sobre lo dificil que es
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Unknown21 de enero de 2016 a las 5:13 a.m.
es verdad k esta dificil
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Unknown23 de enero de 2016 a las 6:17 p.m.
buenoh
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Unknown26 de enero de 2016 a las 6:20 p.m.
profesol cuando aremos la prosima practica att : eudis manuel #3
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Yerika Rodriguez #3229 de enero de 2016 a las 6:22 p.m.
Hola profesor buenas noches ¿esta clase hay que copiarla? Osea la que usted dejo ahora
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Anónimo30 de enero de 2016 a las 2:45 p.m.
Ya
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Gustavo Sail3 de febrero de 2016 a las 7:09 a.m.
Es para realizar resumenes de las teorias....
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Unknown8 de febrero de 2016 a las 7:29 p.m.
profesol no entiendo muy bien eso att: #3
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Unknown9 de febrero de 2016 a las 5:41 a.m.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
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Unknown9 de febrero de 2016 a las 5:47 a.m.
Profesol ni yo un poco tampoco
#27
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Anónimo28 de febrero de 2016 a las 10:47 a.m.
Tajevi
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Anónimo8 de marzo de 2016 a las 6:07 p.m.
Tabiem hay a estudiar deni #25
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